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Mathematisches Denken

Mathematisches Denken
#1
21.07.2018, 23:21 (Dieser Beitrag wurde zuletzt bearbeitet: 21.07.2018, 23:41 von Zed.)
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Angesichts der Tatsache, dass viele hier ein zumindest oberflächliches Interesse an Mathematik haben und Mathematik hier desöfteren direkt oder indirekt angesprochen wird, habe ich mich dazu entschieden, dem Thema ein Thema zu geben.

Sinn dahinter ist, einen Einblick in mathematisches Denken zu geben.

Wer einen solchen Einblick haben will, wird natürlich bereits allerorts, vor allem im Netz, fündig, weswegen ich auch keine Hemmungen haben werde, manchmal lediglich auf andere Quellen zu verweisen und sie gegebenenfalls kurz zu rezensieren. Des Weiteren lade ich natürlich jeden ein, sowohl Fragen zu stellen wie auch eigene Einblicke zu geben oder sich anderweitig thematisch passend einzubringen.

Zunächst gebe ich eine kurze, abstrakte Einführung. Danach geht’s an konkrete Erläuterungen.

Was ist und soll mathematisches Denken?

Das Wort Mathematik wurzelt im Griechischen Verb “μανθάνω”, welches verstehen bedeutet und auch mit Lateinisch “mens” verwandt ist, siehe wiktionary/Mathematics#Etymology. Mathematik ist demnach die Lehre des Verstehens und Verstandenen.

Selbstverständlich ist diese Auffassung viel zu allgemein, um einzufangen, was heutzutage als Mathematik gilt; sie bleibt aber der Kern jeder weiteren Auffassung, nicht zuletzt weil sie bereits in sich Antworten auf die beiden bestimmenden Fragen Was sucht die Mathematik? und Wie sucht die Mathematik? beinhaltet: Die Mathematik sucht durch das Verstehen das Verstandene.

Die beiden bestimmenden Fragen sind anders gewandt die nach Stoff und Weise der Beschäftigung.

Inhaltlich wird Mathematik selbst auf Wikipedia als Lehre von Größe, Struktur, Raum und Wandel beschrieben, siehe wiki/Mathematics. Und dies ist eine wunderschöne und bereits ziemlich umfassende Antwort auf die Frage nach dem Stoff der Mathematik.

Die Antwort auf die Frage nach der Weise der Mathematik liegt im Begreifen und Erklären. Ein Sachverhalt ist verstanden, wenn er so tief begriffen worden ist, dass er erklärt werden kann. Das Erklären führt letztendlich zum mathematischen Beweisen, während das Begreifen letztendlich vom mathematischen Denken kommt. Die mathematische Erkenntnis ist das erklärbar Begriffene. Mathematische Erkenntnisse sind die heiligen Schätze der Mathematik.

Tatsächlich ist sekundär, was der Stoff der Mathematik ist. Primär ist die Weise der Mathematik: Wer schafft, mathematisch zu denken, um Erkenntnisse zu erlangen, und diese so tief begriffen hat, dass er sie erklären kann, betreibt Mathematik und macht dadurch die Inhalte seiner Gedanken zu mathematischem Stoff.

Mathematisches Denken ist also die Grundlage der Mathematik und soll zu mathematischen Erkenntnissen führen. Nur wie sieht sowas aus?


Übrigens muss nach dieser Ontologie nicht jede mathematische Erkenntnis beweisbar sein: Die Beweisbarkeit ist nur eine Anforderung, die wir an jene Erkenntnisse stellen, welche wir zum gesicherten Wissen zählen wollen. Der Beweis erfüllt drei Zwecke: Erstens macht er – in seiner Funktion als Erklärung – Erkenntnisse nachvollziehbar und dient damit ihrer Vermittlung. Zweitens sichert er je nach Grad seiner Formalität und Sorgfalt seiner Überprüfung die bewiesene Erkenntnis als Wissen. Drittens schärft er den Verstand des Beweisführenden und regt seinen Geist mitunter zu neuen Ideen an, die wiederum ihrerseits jenen zu neuen Erkenntnissen bringen können.

Beweise sind sehr wertvoll, aber nicht Essenz der Mathematik. Essenz ist die Erkenntnis.


Wie sieht mathematisches Denken aus?

Dies will ich nun hauptsächlich anhand von Beispielen erläutern. Ich denke, ich werde mich dazu vor allem möglichst allgemeinverständlicher Rätsel bedienen, von denen ich inzwischen ein paar kenne. Vielleicht werde ich außerdem noch hin und wieder theoretisch ausholen und in eher philosophischer Weise über mathematisches Denken reden. Wir werden sehen.
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Rätsel: Schokolade
#2
22.07.2018, 06:16 (Dieser Beitrag wurde zuletzt bearbeitet: 30.07.2018, 21:52 von Zed.)
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Du hast eine ganze Tafel Schokolade, die quadratisch, praktisch und gut ist. Sie besteht aus 4×4 einzelnen Stücken. Ohne zu versuchen, Teile über- oder nebeneinanderzulegen oder anderweitig zu mogeln: Wie und wie oft musst du die Schokolade brechen, um sie mit möglichst wenig Brüchen in all ihre 16 einzelnen Stücke zu zerlegen?

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Rätsel: Domino-Steine
#3
22.07.2018, 13:31 (Dieser Beitrag wurde zuletzt bearbeitet: 22.07.2018, 13:40 von Zed.)
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Gegeben sei ein quadratisches Brett von 8×8 gleichgroßen quadratischen Kacheln, bei denen aber zwei einander gegenüberliegende Eckkacheln entfernt worden sind. Insgesamt ist das Brett also in 8² - 2 = 62 Kacheln unterteilt. Ferner seien 31 Domino-Steine gegeben, die je genau so groß sind wie zwei aneinander liegende Kacheln auf dem Brett zusammen. Ist es möglich, das gesamte Brett von 62 Kacheln mit diesen 31 Domino-Steinen zu überdecken?


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RE: Mathematisches Denken
#4
22.07.2018, 19:08 (Dieser Beitrag wurde zuletzt bearbeitet: 22.07.2018, 19:26 von Meerfelix.)
ich möchte gern etwas mit nautrwissenschaftlicher konnotation studieren
ich habe erheblich defizite in mathematik
jetzt bin ich dabei die inhalte aufzuarbeiten
was mir grunsätzlich auffält ist, dass es bei mir in der mathematik öfter als in jeder anderen disziplin vorgekommen ist, dass ich die gleichen fehler wieder mache oder völlige blackouts habe was zu tun ist um die aufgabe zu lösen. desweiteren erlebe ich mich oft auf halber strecke die motivation verlieren. z.b. bei dem ersten rätsel dachte ich "das muss irgendwas mit wiederholungen zu tun haben - jaa das brechen könnte eine folge sein, die auf irgendetwas basiert und deshalb bestimmbar sein muss. dann folgten noch kurze blitze in meiner imagination über irgend ein "n"

ich wundere mich ob es überhaupt eine standarddenkweise gibt, um mathematische probleme zu lösen.
was mich grundsätzlich zu behindern scheint ist, der glaubenssatz, dass ich sobald ich über das problem nachdenke eigentlich meine imagination verschwende, weil all diese probleme schonmal gelöst worden sind.
Bunt bunt bunt sind alle meine Träume: link bunt bunt bunt ist alles was ich hab. Darum lieb ich alles was ich Träume, weil mein schatz ein Regenbogen ist.
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RE: Mathematisches Denken
#5
22.07.2018, 19:15
Ich hab gerade nicht viel Zeit, eine längere Antwort zu schreiben, weil ich morgen ausgerechnet eine Matheklausur schreibe grin Wollte aber nur kurz schreiben, dass ich den Thread sehr gut finde. Ich mag mathematisches Denken, auch wenn ich in Beweisführung leider unglaublich schlecht bin - was ich sehr schade finde. Daher: Danke.
Hello darkness, my old friend
I've come to talk with you again...

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RE: Rätsel: Schokolade
#6
22.07.2018, 19:21
(22.07.2018, 06:16)Zed schrieb: Du hast eine ganze Tafel Schokolade, die quadratisch, praktisch und gut ist. Sie besteht aus 4×4 einzelnen Stücken. Ohne zu versuchen, Teile übereinanderzulegen oder anderweitig zu mogeln: Wie und wie oft musst du die Schokolade brechen, um sie mit möglichst wenig Brüchen in all ihre 16 einzelnen Stücke zu zerlegen?

Ist es mogeln, sie dabei in der Packung zu lassen? In der Pakung brauche ich 6 Brüche. Falls es allerdings meine Lieblingsschokolade ist (dunkle Voll-Nuss happy ), ist es wahrscheinlich, dass sie in mehr Stücke zerbricht, wegen der Nüsse... grin
Erkennen=>Annehmen
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RE: Mathematisches Denken
#7
24.07.2018, 15:07
(22.07.2018, 19:08)Meerfelix schrieb: ich wundere mich ob es überhaupt eine standarddenkweise gibt, um mathematische probleme zu lösen.
Mathematiker haben durch eine Ansammlung von Herangehensweisen und Tricks eine gewisse Denke kultiviert, welche sich als erfolgreich erwiesen hat. Aber jede Herangehensweise, jeder Trick kann auch nur so weit reichen.

Mathematik macht sicherlich auch deutlich mehr Spaß, wenn man diese kultivierte Denke kennen gelernt hat. Wenn man dann von selbst nicht weiter kommt, kann man immer noch versuchen, diese Denke auszuprobieren.

Ich werde demnächst etwas zum Thema Standarddenkweisen schreiben.

Zitat:was mich grundsätzlich zu behindern scheint ist, der glaubenssatz, dass ich sobald ich über das problem nachdenke eigentlich meine imagination verschwende, weil all diese probleme schonmal gelöst worden sind.
Imagination verschwendet man nicht, man übt sie. Du hast ja keinen Vorrat an Imagination. Außerdem kann man ja Freude am Lösen von Aufgaben finden. Das ist ein wenig, als erzählte jemand, dass er keine bekannten Lieder am Klavier spielen will, weil er das Gefühl hat, seine Musikalität zu verschwenden, weil all diese Lieder schon mal gespielt worden sind.

Nein, andersherum: Wer keine Lieder spielt, verschwendet seine Musikalität.

(22.07.2018, 19:21)Ver366 schrieb: Ist es mogeln, sie dabei in der Packung zu lassen? In der Pakung brauche ich 6 Brüche.
Ja, das ist natürlich gemogelt. Das wäre die minimale Anzahl der Brüche, wenn Nebeneinanderlegen erlaubt wäre.
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RE: Mathematisches Denken
#8
24.07.2018, 15:16
(24.07.2018, 15:07)Zed schrieb:
(22.07.2018, 19:21)Ver366 schrieb: Ist es mogeln, sie dabei in der Packung zu lassen? In der Pakung brauche ich 6 Brüche.
Ja, das ist natürlich gemogelt. Das wäre die minimale Anzahl der Brüche, wenn Nebeneinanderlegen erlaubt wäre.

Ne, ist das Minimum mit Nebeneinanderlegen nicht 4 Brüche?

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RE: Mathematisches Denken
#9
24.07.2018, 15:19
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(24.07.2018, 15:16)Brot82 schrieb:
(24.07.2018, 15:07)Zed schrieb:
(22.07.2018, 19:21)Ver366 schrieb: Ist es mogeln, sie dabei in der Packung zu lassen? In der Pakung brauche ich 6 Brüche.
Ja, das ist natürlich gemogelt. Das wäre die minimale Anzahl der Brüche, wenn Nebeneinanderlegen erlaubt wäre.
Ne, ist das Minimum mit Nebeneinanderlegen nicht 4 Brüche?
Ja, ich meinte eigentlich nicht “Nebeneinanderlegen”, sondern eher so “Nebeneinanderlassen”. Es ist halt das Minimum, wenn man die Tafel in der Verpackung lässt und davon ausgeht, dass man durch die Verpackung hindurch brechen kann. Es ist die minimale Anzahl an Linien, die man zeichnen muss, um ein 4×4-Feld zu zeichnen.
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RE: Mathematisches Denken
#10
27.07.2018, 20:53
(24.07.2018, 15:07)Zed schrieb: Imagination verschwendet man nicht, man übt sie.  
danke für deine antwort! ich stimme dir grundsätzlich zu: übung macht den meister.
bezüglich der immagination wundere ich mich schon manchmal ob sie nicht doch an einen vorrat gekoppelt ist. bze wieso sie manchmal so wie von selbst, ansehnlich und präzise funktioniert und manchmal überhaupt nicht reagiert.
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RE: Mathematisches Denken
#11
30.07.2018, 20:51
Toller thread. Ich freue mich auf die Vorsetzung. Und auf neue Rätsel. Bei der Schokolade hab ich noch verkackt weil ich im Kopf bei der Schummellösung geblieben bin und 6 für die richtige Antwort hielt. Beim Kachelbrett war der Hinweis dann schon die Lösung. Neue Denkweisen zu kultivieren und alte Denkmuster zu verlassen finde ich sehr spannend und nicht nur in der Mathematik äußert sinnvoll.
"Am Anfang wurde das Universum erschaffen. Das machte viele Leute sehr wütend und wurde allenthalben als Schritt in die falsche Richtung angesehen." Douglas Adams
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Rätsel: Eisenkette
#12
30.07.2018, 22:43 (Dieser Beitrag wurde zuletzt bearbeitet: 13.12.2018, 16:23 von Zed.)
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Gegeben seien fünf Eisenketten aus je drei Gliedern. Beim Schmied kostet es eine Silbermünze, ein Glied der Kette an einer Stelle aufbrechen zu lassen, und zwei Silbermünzen, ein gebrochenes Glied wieder zuschweißen zu lassen. Wie viele Silbermünzen benötigt man, um aus den fünf dreigliedrigen Eisenketten eine große fünfzehngliedrige Eisenkette zu machen?

Hinweis.
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